Вернуться   Форум по искусству и инвестициям в искусство > Дневники > SAH

Оценить эту запись

Chaos

Запись от SAH размещена 26.04.2010 в 12:11

Chaos

In the chaos is the order: the basis of chance is a kind of geometric structure. Chaos imposes fundamental limitations on the possibility of forecasting, but at the same time implies a causal connection, where previously they had not been suspected
James P. Crutchfield, DZH.DOYN FARMER, NORMAN X. Packard, Robert S. SHOW

The immense power of science lies in its ability to establish a link between cause and effect. For example, the laws of gravity predict eclipses thousands of years. Other phenomena of nature do not lend themselves to such a precise prediction. The currents in the atmosphere as strictly obey the laws of physics, like the motion of the planets, however weather forecasts still have a probabilistic nature. And the weather, and over a mountain river, and the movement thrown dice have in their behavior unpredictable aspects. Since these phenomena do not see a clear connection between cause and effect, they say that they had an element of randomness. However, until recently there was little reason to doubt that in principle it is possible to achieve accurate predictability. It was believed that this should only collect and process sufficient information.

That view changed abruptly a startling discovery: a simple deterministic system with a small number of components can generate random behavior, and this accident was one of principle - can not get rid of it, collecting more information. Produced by this method by chance came to be called chaos.

The apparent paradox is that chaos is deterministic - is generated by certain rules, which themselves do not include any elements of chance. In principle, the future is fully determined by the past, but in practice small uncertainties are growing and so the behavior, allowing for short-term forecast, long-term unpredictable. Thus, chaos is the order: the basis for chaotic behavior are elegant geometric structures that create a chance in the same meth bong, it creates its dealer, shuffling the deck, or mixer, stirring dough for biscuits.

Opening of the chaos created a new model of scientific modeling. On the one hand, it has introduced a new policy limiting the possibility of predictions. On the other hand, founded in the chaos of determinism has shown that many random phenomena are more predictable than previously thought. The collected information in the past, seemingly random and sent to the regiment as too complicated, now received an explanation by simple laws. Chaos allows you to find order in such diverse systems as the atmosphere that was leaking faucet or the heart. This revolutionary discovery affected many areas of science.

What are the sources of random behavior? A classic example is the Brownian motion. Considered a microscope mote making his unceasing and indiscriminate dance to the Buyer the thermal motion of the surrounding water molecules. Since water molecules are invisible, but their number is enormous, precise movement motes completely unpredictable. Thus, the web of causal effects of some parts of the system to the other can become so confusing that the final pattern of behavior is completely random.

Chaos, which will be discussed in the article, is not associated with a large number of components, nor with their unseen effects. The presence of random behavior in a very simple system makes for a fresh look at such large systems as the atmosphere.

Why predict the flow in the atmosphere is much more difficult than the movement in the solar system? And she and the other made up of many parts, and both are subject to Newton's second law F=that which can be viewed as a simple prescription for predicting the future. If acting on mass m of the force F are known, the known and the acceleration as well. Then it turns out that once the provisions

16

Laplace, 1776

"The state of nature in this is obviously a consequence of what it was in the previous moment, and if we imagine a mind that at this moment, grasped all the connections between the objects of the universe, he can set the relevant provisions of motion and overall impact of all these objects at any time in the past or in the future.

Physical astronomy, a field of knowledge, which makes the greatest honor to the human mind, gives us an insight, albeit incomplete, than would have been a reason. The simplicity of the laws on which the moving celestial bodies, and relations between their masses and distances can analyze their movement to a certain point, and to determine the status of these large bodies in the past or future centuries, the math is enough that their position and velocity were obtained from observations at any time. The man owed this power devices, which he uses, and a small number of relations, which he uses in his calculations. However, ignorance of the various causes of certain events, as well as their complexity, combined with the imperfection of analysis prevents us from reaching the same certainty with respect to the vast majority of phenomena. Thus, there are things that are uncertain for us, things are more or less likely, and we try to compensate for their inability to learn, identify their degree of reliability. It turns out that the weakness of human reason we owe the appearance of one of the most subtle and skillful mathematical 'theories - the science of the case or the probable. "

Poincaré, 1903

"Just a minor cause of which escaped our attention, causing a significant effect, which we can not fail to notice, and then we say that this effect is caused by the case. If we knew exactly the laws of nature and the position of the universe at the initial moment, we could accurately predict the position of the same universe of

later time. But even if the laws of nature are opened to us all their secrets, and then we could know the initial situation only approximately. If it has allowed us to predict the subsequent situation with the same approach, it would be everything we needed and we could say that the phenomenon had been predicted that it is governed by law. This is not always so: it may happen that small differences in initial conditions will cause very large differences in the final phenomena. Small mistake in the first will generate a huge mistake in the latter. Prediction becomes impossible, and we are dealing with a phenomenon that develops by chance. "

Peer two great scientists of randomness and the probability of a completely opposite. The French mathematician Pierre-Simon Laplace believed that natural laws imply strict determinism and complete predictability, though imperfect observations and requires the introduction of probability theory. Poincare's statement anticipates the modern view that an arbitrarily small uncertainty in the state of the system may increase over time and predict the distant future may be impossible.

 

tion and speed of some object measured at a given moment, they are uniquely defined for all. The idea proved so potent that the French mathematician XVІІI in. Pierre Simon Laplace once said that if for each particle in the universe were raised position and speed, he could predict the future at all other times. And while on the road to achieving this goal is set Laplace obvious practical difficulties, more than one hundred years as budbudto there was no reason to doubt that, at least in principle, Laplace rights. A literal application of the Laplace distribution of this social phenomenon has led to a philosophical conclusion about the complete predetermination of human behavior: free will does not exist.

Science XX century. away with the Laplace determinism. The first blow it dealt quantum mechanics. One of the main provisions of this theory - the open Heisenberg uncertainty principle, which asserts that both the position and velocity of a particle can not be accurately measured. The Uncertainty Principle explains well why some random phenomena, such as radioactive decay, do not obey the Laplace determinism. The nucleus is so small that it enters into force on the uncertainty principle, and to know exactly happening in the core processes is impossible in principle, but because no matter how much was collected on the information it can not accurately predict when it will fall apart.

However, the source of uncertainty for large-scale systems should be sought elsewhere. Some large-scale phenomena are predictable, others - no, and quantum mechanics has nothing to do with it. For example, the trajectory of a baseball ball, in principle, predictable, and each player intuitively uses this whenever catches the ball. On the contrary, the trajectory of the balloon when it bursts from the air, is unpredictable: it heels and randomly turning in some moments and in some places that can not be foreseen. But this balloon is subject to the same laws of Newton, as a baseball, why is difficult to predict its behavior?

A classic example of this dual behavior provides the fluid flow. Under certain circumstances it is laminar - smooth, steady, regular - and easily predicted by the equations. In other circumstances, the flow becomes turbulent - uneven, uncertain, irregular - and unpredictable. The transition from laminar to turbulent behavior familiar to anyone who has ever flown in an airplane in calm weather and then suddenly found himself in a storm. How to explain the essential difference between laminar and turbulent flow?

To better understand what this mystery, let us assume that we have decided to sit by a mountain stream. Water swirl and splash

18

as if on their own then rushes hither and thither. But the stones in the streambed are firmly in place and the flow of water is almost identical. Why the random nature of its movement?

Soviet physicist Lev Landau once offered an explanation of random motion of fluid, which prevailed for many years. It consisted in the fact that in turbulent flow, there are many different independent fluctuations (eddies). With an increase in speed over will be still more turbulent, and gradually, one by one, will be added new frequencies. Although each individual swing can be simple, their combination leads to a complex movement that is impossible to predict.

However, over the Landau theory in doubt. Random behavior often even the system are neither particularly difficult nor uncertainty. Even at the turn of the century, it realized the French mathematician Henri Poincare, noting that the unpredictable, arising "by chance" phenomenon characterized by more such systems, where small changes in the present lead to noticeable changes in the future. Imagine a stone on top of the hill. A little pushing it in one direction or another, we will force him to roll down the very different ways. But if the stone is sensitive to small effects only while he is on top of a hill, chaotic systems are sensitive to them at every point of its motion.

To show how sensitive to some physical systems to external stimuli, we give a simple example. Imagine a somewhat idealized billiards, in which the balls roll on the table and face each other so that the energy loss can be neglected. The player makes a stroke, and begins a long series of collisions, of course, he wants to know what comes after his stroke. For how long can a player with a perfect control their impact, to predict the trajectory of the ball, which he pushed his cue? If he ignores even such a small effect, as the gravitational attraction of the electron at the edge of the galaxy, the prognosis is wrong already in one minute!

PHASE SPACE provides a convenient means for visualizing the behavior of dynamic systems. This is an abstract space in which coordinates are the degrees of freedom of the system. For example, the movement of the pendulum (top) is completely determined by its initial velocity and position. Thus, its state corresponds to a point on the plane, whose coordinates are the position and velocity of the pendulum (below). When the pendulum swings, this point describes a certain trajectory, or orbit, in the phase space. For an ideal frictionless pendulum the orbit is a closed curve (bottom left), otherwise the orbit converges in a spiral to the point (bottom right).

 

The rapid growth of uncertainty due to the fact that the balls are not perfect, and small deviations from the ideal trajectory at the point of impact with each new collision increases. The growth occurs exponentially, just as bacteria multiply in conditions of unlimited space and food supplies. With each new collision errors accumulate, and any even the smallest impact quickly reaches macroscopic-size. This is one of the main properties of chaos *.

The exponential accumulation of errors inherent in chaotic dynamics, is the second stumbling block for the Laplace determinism. Quantum mechanics has found that the initial measurements are always uncertain, and chaos ensures that these uncertainties quickly exceed the limits of predictability. Do not be a chaos, Laplace could amuse the hope that the errors will remain limited, or at least to grow quite slowly, allowing you to make long-term prognosis. In the presence of chaos reliability of forecasts decreases rapidly.

The notion of chaos refers to the so-called theory of dynamical systems. A dynamic system consists of two parts: the notion of state (the essential information about the system) and dynamic (rule describing the evolution of the system over time). The evolution can be observed in the state space or phase space - an abstract space in which coordinates are the components of the state. In this case the coordinates are chosen depending on the context. In the case of a mechanical system that may be the position and velocity, in the case of the ecological model - populations of various species.

A good example of a dynamic system - a simple pendulum. Its movement is defined by only two variables: position and velocity. Thus, his state - a point on the plane, whose coordinates - the position of the pendulum and its velocity. The evolution of the state described by the rule, which is derived from Newton's laws, and is expressed mathematically in the form of a differential equation. When the pendulum swings back and forth, his state - a point on the plane - moving to some trajectory (orbit). Ideally, the pendulum without friction, the orbit is a loop, the presence of friction orbit is twisted in a spiral to a point corresponding to the stopping of the pendulum.

A dynamic system can be developed either in continuous time or discrete-time. The first is called flow, the second - the mapping (sometimes cascade). The pendulum continuously moves from one location to another and, therefore, describes a dynamic system with continuous time, ie the flow. The number of insects born each year in a certain range, or interval between discharge from leaking faucet is more natural to describe the system with discrete time, ie, mapping.

To learn how to develop a system from a given initial state to make an infinitesimal advance along the orbit, and for this you can use the dynamics (equations of motion). With this method, the amount of computational work is proportional to the time during which we want to move in its orbit. For simple systems such as the pendulum without friction may be that the equations of motion admit a solution in closed form, ie, there is a formula that expresses any future state through the initial state. This decision gives "straight way", ie, a simple algorithm in which to predict the future is only the initial state and final time, and that does not require passing through all intermediate states. In this case, the amount of work expended on tracking the motion of the system is almost independent of the final time value. So, if given the equation of motion of the planets and the Moon, as well as the position and velocity of the Earth and the Moon, it is possible, for example, for many years to predict eclipses.

The success in finding solutions in closed form for many different simple systems in the early stages of development of physics there is hope that for any mechanical system there exists a solution. We now know that this is, generally speaking, is not so. Unpredictable behavior of chaotic dynamical systems can not describe the solution in closed form. Hence, when determining their behavior, we have no "straight path".

Attractor - a geometric structure, characterizing the behavior in phase space over a long time. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему система стремится прийти, к чему она притягивается. Здесь аттракторы показаны синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Такой аттрактор соответствует поведению маятника при наличии трения; маятник всегда приходит в одно и то же положение покоя независимо от того, как он начал колебаться (см. правую половину рисунка на предыдущей странице). Следующий, более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), который имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве. Предельный цикл описывает устойчивые колебания, такие, как движение маятника в часах или биение сердца. Сложному колебанию, или квазипериодическому движению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа). Все три аттрактора предсказуемы: их поведение можно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому движению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем ряду; они получены (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и одним из авторов (Шоу) соответственно путем решения простых систем дифференциальных уравнений с трехмерным фазовым пространством.

 

20

И ВСЕ-ТАКИ фазовое пространство дает мощное средство для изучения хаотических систем, так как оно позволяет представить их поведение в геометрической форме. Так, в нашем примере маятника с трением, который в конце концов останавливается, его траектория в фазовом пространстве приходит в некоторую точку. Это неподвижная точка; так как она притягивает близлежащие орбиты, ее называют притягивающей неподвижной точкой, или аттрактором (от англ. to attract — притягивать. — Перев.). Если сообщить маятнику небольшой толчок, его орбита вернется в неподвижную точку. Всякой системе, которая с течением времени приходит в состояние покоя, отвечает неподвижная точка в фазовом пространстве. Это явление имеет весьма общий характер: потери энергии из-за трения или, например, вязкости приводят к тому, что орбиты притягиваются к небольшому множеству фазового пространства, имеющему меньшую размерность. Всякое такое множество называется аттрактором. Грубо говоря, аттрактор отвечает установившемуся поведению системы — тому, к которому она стремится.

Некоторые системы не останавливаются по прошествии длительного времени, а циклически проходят некоторую последовательность состояний. Пример — часы с маятником, которые заводятся при помощи пружины или гирь. Маятник снова и снова повторяет свой путь. В фазовом пространстве его движению соответствует периодическая траектория, или цикл. Неважно, как маятник запущен в движение — в конце концов он придет к тому же циклу. Такие аттракторы называются предельными циклами. Другой знакомой всем системой с предельным циклом является сердце.

Одна и та же система может иметь несколько аттракторов. Если это так, то разные начальные условия могут привести к разным аттракторам. Множество точек, приводящих к некоторому аттрактору, называется его областью притяжения. Система с маятником имеет две такие области: при небольшом смешении маятника от точки покоя он возвращается в эту точку, однако при большом отклонении часы начинают тикать, и маятник совершает стабильные колебания.

 

ХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР имеет гораздо более сложное строение, чем предсказуемые аттракторы — точка, предельный цикл или тор. В крупном масштабе хаотический аттрактор есть неровная поверхность со складками. Показаны этапы образования хаотического аттрактора на примере аттрактора Рёсслера (внизу). Сначала близкие траектории на объекте расходятся экспоненциально (вверху); расстояние между соседними траекториями увеличивается примерно вдвое. Чтобы остаться в конечной области, объект складывается (в центре): поверхность сгибается и ее края соединяются. Аттрактор Рёсслера наблюдался во многих системах, от потоков жидкости до химических реакций; этот факт иллюстрирует максиму Эйнштейна о том, что природа предпочитает простые структуры.

 

Более сложный аттрактор имеет форму тора (напоминающую поверхность бублика). Такая форма отвечает движению, составленному из двух независимых колебаний, — так называемому квазипериодическому движению. (Физические примеры можно построить при помощи электрических осцилляторов.) Траектория навивается

21

на тор в фазовом пространстве, одна частота определяется временем оборота по малому кругу тора, другая — по большому кругу. Для комбинации более чем двух вращений аттракторами могут быть многомерные торы.

Важное отличительное свойство квазипериодического движения состоит в том, что, несмотря на сложный характер, оно предсказуемо. Хотя траектория может никогда не повторяться точно (если частоты несоизмеримы), движение остается регулярным. Траектории, начинающиеся поблизости одна от другой на торе, так и остаются поблизости одна от другой, и долгосрочный прогноз гарантирован.

22

ДО НЕДАВНЕГО времени были известны лишь перечисленные виды аттракторов: неподвижные точки, предельные точки, предельные циклы и торы. В 1963 г. Э. Лоренц из Массачусетского технологического института открыл конкретную систему низкой размерности со сложным поведением. Движимый желанием понять, в чем трудность с прогнозами погоды, он рассмотрел уравнения движения жидкости (они описывают и атмосферные течения) и путем упрощений получил систему ровно с тремя степенями свободы.

Тем не менее эта система вела себя случайным образом и не поддавалась адекватному описанию с помощью какого-нибудь из известных аттракторов. Обнаруженный Лоренцем аттрактор, называемый теперь его именем, стал первым примером хаотического, или странного, аттрактора.

Промоделировав свою простую систему на компьютере, Лоренц выявил основной механизм, который вызывал случайное поведение: микроскопические возмущения накапливаются и влияют на макроскопическое поведение. Две траектории с близкими начальными условиями экспоненциально расходятся в процессе эволюции, так что они проходят рядом лишь совсем недолго. В случае нехаотических аттракторов качественная картина совершенно другая. Для них близкие траектории так и остаются близкими, небольшие ошибки остаются ограниченными, и поведение предсказуемо.

Ключ к пониманию хаотического поведения дает простая процедура растягивания и образования складок в фазовом пространстве. Экспоненциальная расходимость — локальное явление: поскольку аттрактор имеет конечные размеры, две орбиты на хаотическом аттракторе не могут экспоненциально расходиться навсегда. Это означает, что такой аттрактор должен образовывать складки внутри самого себя. И хотя орбиты расходятся и следуют совершенно разными путями, в конце концов они должны пройти снова вблизи друг от друга. В результате орбиты на хаотическом аттракторе перемешиваются подобно тому, как перетасовываются карты в колоде. Случайность хаотических орбит есть результат этого процесса перемешивания. Вытягивание и образование складок происходит снова и снова, создавая складки внутри складок, и так до бесконечности. Иначе говоря, хаотический аттрактор является фракталом — объектом, в котором по мере увеличения выявляется все больше деталей (см. рисунок справа).

Хаос перемешивает орбиты в фазовом пространстве точно так же,

23

как пекарь месит тесто для выпечки хлеба. Представить себе, что происходит с близлежащими траекториями на хаотическом аттракторе, поможет такой эксперимент. Добавим в тесто каплю синей пищевой краски. Вымешивание теста — это комбинация двух действий: его то раскатывают (при этом цветное пятно расширяется), то складывают. Поначалу пятно просто становится длиннее, затем образуются складки, и все это повторяется снова и снова. При ближайшем рассмотрении оказывается, что тесто состоит из многих слоев попеременно белого и голубого цвета. Уже через 20 шагов исходное пятно вытягивается более чем в 20 млн. раз по сравнению с начальной длиной, а его толщина сокращается до молекулярных размеров. Синяя краска полностью перемешалась с тестом. Хаос действует точно так же, только вместо теста он перемешивает фазовое пространство. Вдохновленный этой картиной, О. Ресслер из Тюбингенского университета построил простейший пример хаотического аттрактора в потоке (см. рисунок на странице 21).

При наблюдении физической системы из-за неизбежных ошибок измерения нельзя точно задать ее состояние. Одному состоянию отвечает не точка, а малая область в фазовом пространстве. Предельные размеры области устанавливает соотношение неопределенностей, но на деле различного рода шумы ухудшают точность измерений и способствуют появлению более заметных ошибок. Эта малая область аналогична синей капле в тесте.

ЛОКАЛИЗАЦИЯ системы в малой области фазового пространства, достигнутая путем измерения, дает определенное количества информации об этой системе. Чем точнее проведено измерение, тем больше знает наблюдатель о состоянии системы. И наоборот, чем больше область, тем меньше уверенности у наблюдателя. Поскольку в нехаотической системе близко расположенные точки остаются близкими в процессе эволюции, часть информации, полученной измерением, сохраняется во времени. Именно в этом смысле такие системы предсказуемы: начальное измерение содержит информацию, которой можно воспользоваться для прогноза будущего поведения. Иначе говоря, предсказуемые динамические системы не особенно чувствительны к ошибкам измерения.

Вытягивание и складывание хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой: при растяжении увеличиваются мелкомасштабные неопределенности, при складывании сближаются далеко отстоящие траектории и стирается крупномасштабная информация. Таким образом, хаотические аттракторы действуют как своего рода помпа, “подкачивающая” микроскопические флуктуации в макроскопическое проявление. Отсюда ясно, что никакого точного решения, никакого кратчайшего пути для прогноза будущего быть не может. Проходит совсем немного времени, и неопределенность, возникшая при начальном измерении, покрывает весь аттрактор, лишая нас возможности делать какие бы то ни было предсказания: между прошлым и будущим уже нет никакой причинной связи.

24

ХОТЯ АНАЛИЗ, проведенный Голлубом и Суинни, подкреплял представление, что некоторые случайные движения в потоках жидкости связаны с хаотическими аттракторами, их работа ничего не доказывала. Хотелось иметь более явное свидетельство о наличии в полученных экспериментальных данных простого хаотического аттрактора. Обычно в эксперименте регистрируются не все характеристики системы, а только некоторые из них. Например, Голлуб и Суинни не могли полностью регистрировать течение Куэтта; они измеряли только скорость жидкости в одной точке. Задача исследователя — воспроизвести аттрактор при помощи неполных данных. Ясно, что это не всегда возможно: если аттрактор слишком сложный, что-то будет потеряно. Однако в отдельных случаях динамику можно восстановить на основе неполных данных.

Введенная нами методика, которой Такенс дал прочное математическое обоснование, позволяет воссоздать (“реконструировать”) фазовое пространство и искать хаотические аттракторы. Ее основная идея состоит в том, что эволюция всякой отдельной компоненты системы определяется другими компонентами, с которыми она взаимодействует. Таким образом, информация о таких компонентах неявно содержится в “истории” отдельной компоненты. Чтобы воссоздать “эквивалентное” фазовое пространство, мы берем просто одну компоненту и обращаемся с измеренными значениями при фиксированных запаздываниях (например, секунду назад, две секунды назад и т. д.) так, как будто это новые размерности.

Эти “запоздалые” значения можно рассматривать как новые координаты, задающие точку в многомерном фазовом пространстве. Повторяя процедуру с другими интервалами запаздывания, получаем много таких точек. Затем другими приемами можно проверить, лежат или не лежат эти точки на хаотическом аттракторе. Хотя такое представление во многих отношениях произвольно, оказалось, что оно сохраняет многие важные свойства аттрактора, которые, как выяснилось, не зависят от деталей реконструкции.

Для иллюстрации этой методики воспользуемся примером, который замечателен тем, что знаком и доступен почти каждому. Большинство людей осознают периодичность падения капель из подтекающего крана. Время между последовательными каплями может быть вполне регулярным, и не трудно угадать момент, когда упадет следующая капля. Менее известно поведение крана при несколько большей скорости течения. Часто удается найти такой режим, что капли, хотя и продолжают падать по одной, создают никогда не повторяющийся перестук подобно бесконечно изобретательному барабанщику. (Этот эксперимент легко выполнить самому; лучше воспользоваться краном без насадки.) Смены периодических и случайных режимов напоминают переход от ламинарного течения к турбулентному. Быть может, за этой случайностью скрывается простой хаотический аттрактор?

Один из авторов (Шоу) в сотрудничестве с П. Скоттом, С. Поупом и Ф. Мартейном проводил экспериментальное изучение подтекающего крана в Калифорнийском университете (Санта-Крус). В первоначальном эксперименте капли из Обычного крана падали на микрофон, и измерялись интервалы времени между звуковыми импульсами. Типичные результаты несколько более тонкого эксперимента проиллюстрированы рисунком на с. 25. Отложив на осях временные интервалы между последовательными парами капель, мы получим сечение соответствующего аттрактора. Например, в периодическом режиме мениск срывающихся капель изменяется гладким повторяющимся образом, чему соответствует предельный цикл в фазовом пространстве. Однако это гладкое изменение в реальном опыте недоступно измерению; регистрируются только интервалы между моментами, когда разбиваются отдельные капли. Это напоминает прерывистое освещение регулярного движения по петле. Если правильно подобрать время вспышек, движущийся предмет будет казаться застывшим в одной точке.

Эксперимент привел к впечатляющему результату: в непериодическом режиме подтекающего крана действительно были найдены хаотические аттракторы. Случайное поведение капель могло бы вызываться какими-то невидимыми воздействиями: небольшими вибрациями или воздушными потоками. Если бы это было так, то между последовательными интервалами не было бы никакой связи, и на графике получалось бы лишь некое бесформенное образование. Тот факт, что график имеет определенную структуру, уже сам по себе показывает, что случайность здесь имеет детерминированное основание. В частности, многие наборы данных приводят к подковообразной форме, что является признаком процесса растягивания и складывания, о котором говорилось выше. Эта характерная форма есть как бы “моментальный снимок” складки в процессе ее образования, например сечение на пути вокруг аттрактора Рёсслера, показанного на с. 21. Другие наборы данных выглядят более сложными; они могут оказаться сечениями многомерных аттракторов. Геометрия более чем трехмерных аттракторов в настоящее время почти неизвестна.

ЕСЛИ СИСТЕМА хаотична, можно ли узнать, насколько она хаотична? Мерой хаоса служит “энтропия” движения, которая, грубо говоря, равна средней скорости растяжения и складывания или средней скорости, с которой “производится” информация*. Другой статистической характеристикой служит “размерность” аттрактора**. Поведение простой системы должно описываться в фазовом пространстве аттрактором малой размерности наподобие приведенных нами примеров. Чтобы задать состояние более сложной системы, может потребоваться несколько чисел, и в таком случае аттрактор может иметь более высокую размерность.

Методика реконструкции наряду с измерением энтропии и размерности позволяет по-новому исследовать течение, изученное Голлубом и Суинни. Такое исследование было выполнено сотрудниками из группы Суинни при участии двоих из нас (Кратчфилда и Фармера). Реконструкция позволила нам получить изображения соответствующего аттрактора. При этом такой же потрясающей картины аттрактора малой размерности, которая была получена при исследовании других систем, например подтекающего крана, получить не удалось. Однако измерения энтропии и размерности

27

выявили, что нерогулярное движение жидкости вблизи перехода в течении Куэтта можно описать хаотическими аттракторами. Когда скорость вращения в ячейке Куэтта увеличивается, возрастают энтропия и размерность соответствующих аттракторов.

В последние несколько лет для многих систем со случайным поведением удалось найти простой хаотический аттрактор. Среди них — конвективное течение в жидкости, нагреваемой в небольшом сосуде, колебание концентрации веществ при химических реакциях с перемешиванием, сокращение клеток сердца цыпленка, а также колебательные процессы в большом числе электрических цепей и механических установок. Вдобавок тот же простой тип случайности был установлен для построенных при помощи компьютера моделей многих столь разнообразных явлений, как эпидемии, электрическая активность нервной клетки, пульсации звезд. Сейчас идут эксперименты с целью найти хаос даже в таких несхожих вещах, как рождение блестящей идеи и экономика.

Следует, однако, подчеркнуть, что теория хаоса ни в коей мере не панацея. Движения систем со многими степенями свободы сложны и имеют случайный характер, и, даже если известно, что некая данная система хаотична, сам по себе этот факт мало что проясняет. Хороший пример — сталкивающиеся друг с другом молекулы в газе. Хотя известно, что такая система хаотична, это нисколько не облегчает предсказание ее поведения. В движении участвует так много частиц, что можно надеяться лишь на статистическое описание, а основные статистические свойства выводятся без учета хаоса.

Существуют другие неисследованные вопросы, для которых роль хаоса неизвестна. Что можно сказать о постоянно меняющихся пространственно протяженных системах, таких, как дюны в Сахаре или достигшее полного развития турбулентное течение? Неясно, допускают ли сложные пространственно протяженные системы удобное описание при помощи одного аттрактора в одном фазовом пространстве. Однако опыт обращения с простейшими аттракторами, быть может, подскажет более разветвленную картину целых семейств пространственно мобильных детерминированных форм наподобие хаотических аттракторов.

Существование хаоса затрагивает сам научный метод. Классический способ проверки теории состоит в том, чтобы сделать предсказание и сверить его с экспериментальными

данными. Но для хаотических явлений долгосрочный прогноз в принципе невозможен, и это следует принимать во внимание при оценке достоинств теории. Таким образом, проверка теории становится гораздо более тонкой процедурой, опирающейся больше на статистические и геометрические свойства, чем на подробное предсказание.

Хаос бросает новый вызов сторонникам редукционизма, которые считают, что для изучения системы ее 'нужно разбить на части и изучать каждую часть. Эта точка зрения удерживалась в науке благодаря тому, что есть очень много систем, для которых поведение в целом действительно складывается из поведения частей. Однако хаос показывает нам, что система может иметь сложное поведение вследствие простого нелинейного взаимодействия всего нескольких -компонент.

Эта проблема становится острой в широком диапазоне научных дисциплин, от описания микроскопических физических явлений и до моделирования макроскопического поведения биологических организмов. За последние годы сделан огромный шаг вперед в умении подробно разобраться, какова структура той или иной системы, однако способность объединять собранные сведения в цельную картину зашла в тупик из-за отсутствия подходящей общей концепции, в рамках которой можно было бы качественно описывать поведение. Например, располагая даже “годной схемой нервной системы какого-нибудь простого организма вроде нематоды, изученной С. Бреннером из Кэмбриджского университета, из нее нельзя вывести поведение этого организма. Точно так же необоснованна точка зрения, что физика исчерпывается выяснением природы фундаментальных физических сил и элементарных составляющих. Взаимодействие компонент в одном масштабе может вызывать сложное глобальное поведение в более крупном масштабе, которое в общем случае нельзя вывести из знаний поведения отдельных компонент.

Хаос часто рассматривают в свете налагаемых его существованием ограничений, таких, как отсутствие предсказуемости. Однако природа может пользоваться хаосом конструктивно. Через усиление малых флуктуаций она, возможно, открывает системам природы доступ к новизне. Быть может, жертва, ускользнувшая от хищника, чтобы не быть схваченной, воспользовалась хаотической регулировкой полета как элементом неожиданности. Биологическая эволюция требует генетической изменчивости, а хаос порождает случайные изменения структуры, открывая тем самым возможность поставить изменчивость под контроль эволюции.

Даже процесс интеллектуального прогресса зависит от появления новых идей и нахождения новых способов увязывать старые идеи. Врожденная творческая способность, быть может, скрывает за собой хаотический процесс, который селективно усиливает малые флуктуации и превращает их в макроскопические связанные состояния ума, которые мы ощущаем как мысли. Иногда это могут быть какие-то решения или то, что осознается как проявление воли. С этой точки зрения хаос предоставляет нам механизм для проявления свободной воли в мире, который управляется детерминированными законами.

Кратчфилд Дж., Фармер Дж., Паккард Н., Шоу Р. Хаос. //В мире науки -1987,№2. - С.16 - 28.
Размещено в Без категории
Просмотров 2259 Комментарии 0
Всего комментариев 0

Комментарии

 














Часовой пояс GMT +3, время: 13:44.
Telegram - Instagram - Facebook - Обратная связь - Обработка персональных данных - Архив - Вверх


Powered by vBulletin® Version 3.8.3
Copyright ©2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot