Учился на графическом факультете ВХУТЕИНа у В.А. Фаворского, П.Я. Павлинова, С.В. Герасимова. Был членом общества «Четыре искусства», участвовал в его выставках (1926, 1927, 1929 гг.) и выставках Общества станковистов (ОСТ). В 1928–30 гг. Аксельрод преподавал рисунок во ВХУТЕИНе, а в 1931–32 гг. — в Московском текстильном институте. С 1932 года художник – член МОСХа.
В 1930–40-е гг. М. Аксельрод был известен преимущественно как книжный график (оформил десятки книг, в том числе произведения Шолом Алейхема, П. Мериме, Ш. Галкина и др.) и театральный художник (с 1932 по 1944 гг. оформил ряд спектаклей в БелГОСЕТе, Киевском ГОСЕТе, Московском ГОСЕТе, Московском театре имени Моссовета и др.). Многие театральные работы художника хранятся в Театральном музее им. Бахрушина в Москве.
В 1966 г. в Москве проходит групповая выставка пяти художников, где работы М.Аксельрода представлены очень широко. В последние годы жизни он плодотворно работал: писал превосходные пейзажи Крыма и Подмосковья, создал серию картин «Воспоминания о старом Минске».

Меер Моисеевич иллюстрировал произведения Бабеля, Шолом Алейхема, Чехова, создавал театральные декорации и занимался станковой живописью. Много путешествовал по стране, привозя из поездок бесчисленные зарисовки. Особое внимание привлекают его темперные "рассказы" о тех краях, где он побывал уже во второй половине ХХ века. В первую очередь это Прибалтика, которую художник называл "страной из сказок братьев Гримм". Отдельное место в творчестве художника занимают женские образы.
"Он обращает внимание на свою семью. Жена – писатель, дочь – переводчик и писатель. Мы здесь можем посмотреть, как они вместе смотрят книгу, или как они переводят, как дочь пишет сочинение во время войны, или как она взрослая занимается переводом", – отмечает куратор выставки Любовь Агафонова.